Nasceu a 28 de maio de 1740, em Goa. Era filho de D. António José da Costa e Sousa e de D. Antónia Rosa de Melo. O seu pai foi capitão-de-fragata da Armada e era filho segundo de D. António Estevão da Costa, armeiro-mor ou armador-mor do reino. Provinha, portanto, da linhagem dos Costa armadores ou armeiros-mores, uma antiga família da nobreza cortesã que integrava o restrito núcleo dos Oficiais Mores da Casa Real. Já a sua mãe provinha da elite governativa da Índia portuguesa, sendo filha do vedor da fazenda e depois governador, D. Cristóvão de Melo e irmã de D. João José de Melo, que foi também vedor da fazenda e depois governador do Estado da Índia.
Perdeu o pai aos 8 anos, tendo D. António José perecido num naufrágio, em 1748. O seu tio, e irmão mais velho do pai, D. José da Costa, que chefiava a casa dos armeiros-mores, vendo-se sem descendência, e sendo os seus restantes irmãos monsenhores da Patriarcal de Lisboa, compreendeu que a sucessão da casa e dos respetivos morgadios passaria pelo seu sobrinho mais velho, D. José Francisco da Costa e Sousa. Por este motivo, D. José Francisco terá abandonado a Índia e rumado ao reino, onde passou a residir com o tio até à morte deste, em 1766. Veio, assim, a suceder na chefia e representação da família dos Costa armadores/armeiros-mores do reino e no senhorio dos quatro morgadios da família. Seguiu também na profissão das armas como os seus antepassados.
Passou a integrar o Concelho Ultramarino, ficando por isso intitulado ao recebimento de uma tença, conforme estipulado por carta régia de abril de 1767. Recebeu a carta de ofício de armeiro-mor em 21 de março de 1769, passando a desempenhar a função própria dos varões da sua linhagem. É também em 1769 que é habilitado para receber o hábito da Ordem de Avis e a tutela da comenda de São Vicente da Beira, à semelhança do seu tio e avô. Em abril de 1770 recebeu a patente de governador e capitão-general do Reino de Angola, em setembro do mesmo ano, recebeu carta do título do Conselho de Sua Majestade e, em novembro, ficou intitulado às tenças dos almoxarifados da Azambuja e do Reino do Algarve.
No dia 21 de novembro de 1772 casou com D. Maria José de Sousa de Macedo, filha primogénita e herdeira do 1º visconde de Mesquitela, D. Luís de Sousa de Macedo, no oratório do Palácio dos Viscondes de Mesquitela, tendo assistido e testemunhado ao casamento Sebastião José de Carvalho e Melo.
Em inícios de fevereiro de 1773 foi nomeado governador e capitão-general do Algarve, tendo-se estabelecido com a sua esposa no Palácio dos Governadores em Tavira (então sede do governo do Algarve). Entre 1774 e 1776, ter-se-á instalado na vila de Castro Marim nas proximidades da então emergente Vila Real de Santo António, mandatado pelo marquês de Pombal para supervisionar a edificação da nova urbe, projeto a que a coroa atribuía grande importância, vindo D. José Francisco a inaugurar solenemente a vila em maio de 1776. De imediato regressou a Tavira, sendo instruído para receber uma alta dignidade francesa, nomeadamente o duque de Chartres, primo coirmão do rei Luís XVI, que comandava uma esquadra de passagem pela costa algarvia. Em Tavira permaneceu a casa e “corte” do governador e armador-mor e ali nasceram e foram batizados os seus primeiros filhos. D. José Francisco e família só regressaram a Lisboa em 1780.
É, precisamente, nesse ano de 1780 que é eleito sócio correspondente da Academia Real das Ciências de Lisboa, na sessão de 21 de junho. Como muitos dos seus pares da nobreza cortesã, D. José Francisco não terá desempenhado nenhum papel digno de nota na Academia, nem produzido ou conduzido qualquer investigação ou trabalho de vulto nos ramos das letras ou das ciências, justificando-se apenas a sua integração nos primórdios da agremiação pela sua posição de membro proeminente da aristocracia e da corte régia.
Tornou-se administrador do morgadio da Quinta da Bacalhoa em Azeitão, em 1786, após o reivindicar judicialmente como herdeiro, apesar de parente afastado, de antigos administradores. Foi então que D. José Francisco da Costa e Sousa adotou também o apelido Albuquerque, pois o seu uso e transmissão era um requisito imposto aos morgados da Bacalhoa. Em 1787, em resposta uma petição que endereçara à coroa, é lhe transmitido o título de visconde de Mesquitela detido pelo seu sogro – que havia morrido em 1783 -, bem como o senhorio da vila de Mesquitela e os respetivos direitos, dos quais era herdeira a sua esposa, que herdava ainda a administração dos morgadios detidos pelo pai.
Não obstante das propriedades e morgadios detidos em diversos pontos do reino pelo armador-mor, este fazia apenas visitas esporádicas aos seus domínios fundiários, residindo sobretudo junto da corte régia, acompanhando D. Maria I no palácio de Queluz onde desempenhava também a função de aposentador-mor da corte nos finais do século XVIII. Em 1800 sentiu a necessidade de pedir à coroa que aceitasse que o seu filho mais velho e sucessor desempenhasse, em seu lugar, as funções de armador-mor. Faleceu menos de dois anos depois, a 6 de janeiro de 1802.