Nasceu a 10 de abril de 1741, em Lisboa, na freguesia de São José. Era filho secundogénito de José Felício da Cunha e Meneses e de D. Constança Xavier de Meneses, provindo, assim, de uma casa da primeira nobreza do reino, a dos morgados de Paio Pires.
Francisco da Cunha e Meneses enveredou por uma carreira no exército, tendo assentado praça como cadete no Regimento de Infantaria do Marquês das Minas, no qual foi promovido a tenente dos granadeiros a 18 de março de 1777. No final de dezembro de 1780 foi feito capitão do dito regimento.
Tendo sido eleito sócio supranumerário em janeiro de 1780 pediu escusa de sócio, sendo substituído por Rodrigo de Sousa Coutinho na sessão de 2 de outubro de 1780.
À semelhança de muitos dos seus parentes, Francisco da Cunha e Menezes trilhou também um percurso significativo enquanto governador nos domínios coloniais portugueses. Foi feito governador e capitão geral da Capitania de São Paulo a 26 de maio de 1781, onde exerceu funções de 1782 a 1786. Promovido ao posto de major (24.7.1781), recebeu depois o hábito da Ordem de Cristo (1.10.1781) juntamente com tença de um dos almoxarifados do reino.
Nomeado governador e capitão-general do Estado da Índia a 19 de dezembro de 1785, chegou a Goa apenas a 28 de outubro de 1786. Durante o seu governo, no ano de 1787, foi denunciada e debelada uma sedição levada a cabo por parte da elite nativa, conhecida como “conjuração dos Pintos”. No ano seguinte, em 1788, Francisco de Cunha e Meneses anexou às possessões portuguesas a província de Perném, sendo promovido a coronel no ano de 1789. Em 1791, recebeu do rei Sunda a província de Pondá, retornada ao domínio português, tendo também conquistado a fortaleza de Piró. Para além dos seus feitos militares, destacamos a atenção que Francisco da Cunha e Meneses devotou às inovações e vantagens trazidas pelo estudo da botânica. O governador terá solicitado a Inácio Caetano Afonso, um reputado médico goês, que compusesse um pequeno trabalho que evidenciasse as potencialidades medicinais das raízes de quatro plantas provenientes dos territórios banhados pelo Índico e que eram usadas no Hospital Real de Goa, para que essa informação fosse feita chegar a Lisboa. Para além disso Francisco da Cunha ter-se-á preocupado em difundir a espécies que circulavam na Índia portuguesa, tendo enviado, pelo menos, pés de pimenta para o Brasil para que se experimentasse a sua plantação e aclimatização.
Francisco de Cunha e Meneses terá abandonado a Índia e regressado a Portugal em finais de maio de 1794. Em 1795 integra o Regimento de Infantaria de Campo Maior, sendo promovido a brigadeiro em 1796, e depois a marechal de campo (1800).
A 3 de outubro desse mesmo ano foi nomeado governador e capitão-geral da Bahia. No mês seguinte, a 21 de novembro, é agraciado com a Comenda de São Nicolau dos Vales da Ordem de Cristo, tornando-se comendador. Exerceu o cargo de governador da Bahia até 1805, impulsionando a plantação da pimenta, cujos pés havia já enviado anos antes de Goa e que começou então a ser produzida e comercializada na Bahia, de acordo com a política promovida partir de Lisboa, pelo secretário de estado da Marinha e Domínios Ultramarinos, D. Rodrigo da Sousa Coutinho.
Em fevereiro de 1807, Francisco da Cunha e Meneses foi promovido a tenente-general e a conselheiro de guerra. Meses depois, em novembro, foi indigitado como membro do Conselho de Regência do reino quando a corte partiu para o Brasil, face à eminente invasão das forças napoleónicas. Assistiu impotentemente à ocupação do exército de Junot, que desmantelou o Conselho de Regência. Após a expulsão dos franceses, em 1808, reassumiu a sua posição no exército e como membro do Conselho de Regência, conforme reiterado por carta outorgada pelo rei a partir do Rio de Janeiro, a 2 de janeiro de 1809, já nas vésperas da segunda invasão francesa. No entanto, foi ainda nesse ano removido do Conselho de Regência que passou apenas a contar com três membros. Faleceu poucos anos depois, em junho de 1812.