Filho de António Ribeiro de Paiva, cristão-novo, cirurgião encartado e boticário de profissão, e de Isabel Aires Henriques. O seu pai, preso e depois libertado pela Inquisição em 1747, partiria pouco depois para o Brasil onde, juntamente com um seu outro filho, Manuel Joaquim Henriques de Paiva, seria um dos fundadores da Academia das Ciências e da História Natural do Rio de Janeiro (18.2.1772).
Graduado doutor em Filosofia pela Universidade de Coimbra em 10.1.1779, Francisco António iniciou a sua carreira académica como lente substituto interino/demonstrador, passando depois a lente substituo ordinário de Filosofia, por carta régia de 4.6.1783. Nesta qualidade, lecionou as cadeiras de Física Experimental (170-1783) e de História Natural (1780-1791), suprindo as ausências frequentes, e por ele denunciadas, do titular da cadeira, Domingos Vandelli.
Ribeiro de Paiva foi eleito correspondente da Academia das Ciências em 6.12.1780, não havendo registo de qualquer atividade que tenha desempenhado no âmbito da Academia. Seria omitido de sócio na sessão de 27.3.1790.
A reestruturação da Faculdade de Filosofia levou à substituição da História Natural por duas novas cadeiras - Botânica e Agricultura e Zoologia e Mineralogia – e à criação de uma terceira, a de Química e Metalurgia. Félix Avelar Brotero ficou responsável pela cadeira de Botânica e Agricultura e Francisco António foi nomeado, por carta régia de 24.1.1791, 1º lente catedrático da Faculdade de Filosofia para ler a cadeira de Zoologia e Mineralogia, função que assumiu até à sua jubilação em 29.7.1813. Nestas funções, publicou as
Recebeu o hábito da Ordem de Cristo (3.10.1792), com dispensa das habituais provanças e habilitações e, na Universidade, serviu como decano e desempenhou ainda o cargo de diretor da Faculdade de Filosofia desde 13.7.1811.
Veio a falecer, já retirado, em Antuzede, em novembro de 1831.