Partilhava o nome do pai, que também se chamava António Domingues de Paço, sendo este natural do concelho de Barcelos. Já a sua mãe, Maria Maciel da Paz era natural da Bahia, ainda que filha de um vianense. O seu pai terá sido comendador na Bahia, tendo sido feito, juntamente com a esposa, familiar do Santo Ofício, em inícios do século XVIII.
António Domingues de Paço terá sido encaminhado para os estudos com vista a enveredar pela carreira da jurisprudência. Formou-se na Universidade de Coimbra, tendo-se matriculado na Faculdade de Cânones em 1742, concluindo a formatura em 1747. Poucos anos depois, em 1750, terá recebido a carta de ofício enquanto meirinho do Mar e Alfândega da Cidade da Beira.
Foi oficial da Secretaria de Estado dos Negócios da Marinha e Ultramar por indicação do secretário Tomé Joaquim Cabral. Viria, no entanto, a ser sugerido para mestre dos infantes, ficando encarregue pela instrução dos filhos da rainha D. Maria I e de D. Pedro III. Mais concretamente, António Domingues foi professor de Letras e Ciências dos príncipes, tarefa que desempenhou juntamente com D. Frei Manuel do Cenáculo. A sua proximidade aos filhos da rainha gerou ligações duradoras com os príncipes, sendo que António Domingues do Paço passou a residir em permanência na corte até à sua morte em 1788.
Foi eleito sócio supranumerário da Academia Real das Ciências de Lisboa no ano de 1785. O abade Correia da Serra redigiu-lhe um elogio que permaneceu inédito, o qual deverá ter sido lido na Academia das Ciências, uma vez que o seu propósito era relembrar e enaltecer “o socio livre desta Academia”.